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Matemática 51
2025
GUTIERREZ (ÚNICA)
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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
14.
Hallar el vértice de la parábola que es el gráfico de la función $f$. Dar la imagen y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$. Graficar $f$.
g) $f(x) = -x^2 + x$
g) $f(x) = -x^2 + x$
Respuesta
Identifiquemos primero qué tipo de estructura de función cuadrática tenemos (polinómica, factorizada o canónica).
Es polinómica: $f(x) = ax^2 +bx + c$, donde $a = -1$, $b = 1$ y $c = 0$
El vértice de la función, $(Xv, Yv)$, se calcula con $Xv = \frac{-b}{2a}$ y $Yv = f(Xv)$. En este caso, $a = -1$ y $b = 1$, por lo que $Xv = \frac{-1}{2(-1)} = 0.5$. Sustituyendo este valor en la función, obtenemos $Yv = f(\frac{1}{2}) = -(\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2} = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.
$V = (\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$
La imagen de la función depende del signo de $a$ y del valor de $Yv$. Como $a<0$ la imagen tendrá la forma $\text{Im}f = (-\infty, Yv]$.
$\text{Im}f = (-\infty, \frac{1}{4}]$
Los intervalos de crecimiento y de decrecimiento dependen del signo de $a$ y el valor de $Xv$. Como $a < 0$, estos intervalos serán $I\uparrow = (-\infty, Xv)$ e $I\downarrow = (Xv, +\infty)$.
$I\uparrow = (-\infty, \frac{1}{2})$
$I\downarrow = (\frac{1}{2}, +\infty)$
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